一般說來，數(shù)學(xué)和藝術(shù)是兩種非常不同的領(lǐng)域——前者致力于抽象思維，后者致力于感覺。但有時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這二者之間有著不可思議的相似之處。
從伊斯蘭的瓷磚到杰克遜·波洛克（Jackson Pollock，抽象主義繪畫大師）繪制的混亂圖形，我們可以看到藝術(shù)與隨之而來的數(shù)學(xué)研究之間有著怎樣驚人的相似性。盡管這兩種思維方式并不完全相同，但有趣的是，其中一種往往預(yù)示著另外一種。
藝術(shù)有時(shí)能促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)嗎？這是一個(gè)沒有簡單答案的問題，但在某些情況下，這似乎是很有可能的。
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阿爾罕布拉宮的圖案
以在西班牙格拉納達(dá)的阿爾罕布拉發(fā)現(xiàn)的伊斯蘭裝飾為例。
在14和15世紀(jì)，阿爾罕布拉宮是柏柏爾君主的宮殿和后宮。對許多游客來說，這里是世界上最接近天堂的地方：它有著一系列帶有噴泉的露天庭院，周圍是能提供遮蔽和陰涼的拱廊。天花板被澆筑成像鐘乳石一樣的精致幾何圖案。最耀眼的是周圍墻壁上的彩色瓷磚裝飾，讓人眼花繚亂，帶來一種奇妙的喜悅感。就像音樂一樣，這些圖案能旁觀者體驗(yàn)到一種近乎靈魂出竅的狀態(tài)，一種置身天堂般的狂喜。
○ 阿爾罕布拉的瓷磚拼圖。| 圖片來源：Wikipedia Commons
這是藝術(shù)和數(shù)學(xué)推理的勝利。這個(gè)裝飾物探索了數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——密鋪，它指的是用規(guī)則的幾何圖案完全填充一個(gè)空間。數(shù)學(xué)表明，一個(gè)平面可以被具有三、四和六條邊的對稱圖形規(guī)律覆蓋，但不能被對稱的五邊形以這種形式覆蓋。
不過如果用三角形、正方形和六角形來組合成不同的形狀，也可以做到對整個(gè)空間的填充。阿爾罕布拉宮陶醉于這種精心設(shè)計(jì)的組合，這是一類很難被視為靜止而不是動(dòng)態(tài)的圖案。它們似乎會(huì)在我們眼前旋轉(zhuǎn)，刺激我們的大腦行為，當(dāng)我們看到它們的時(shí)候，我們會(huì)以不同的結(jié)構(gòu)來重置它們的圖案。
這是一種情感體驗(yàn)嗎？正是這樣。但是，這種伊斯蘭鑲嵌圖案的迷人之處就在于，這些通過無數(shù)能工巧匠打造的藝術(shù)作品顯示出了他們對數(shù)學(xué)邏輯的近乎完美的掌握。
數(shù)學(xué)家已經(jīng)確定了17種對稱性，如左右對稱、旋轉(zhuǎn)對稱等等。在阿爾罕布拉宮的鑲嵌圖案作品中至少出現(xiàn)了16種對稱。
○ 17種平面對稱群。
這些圖案不僅漂亮，而且在數(shù)學(xué)上也很嚴(yán)謹(jǐn)。他們以一種驚人的完整方式探索了對稱的基本特征。然而，直到這些對稱的圖形在阿爾罕布拉宮中安放了幾個(gè)世紀(jì)之后，數(shù)學(xué)家才提出了他們對對稱原理的分析。
2
準(zhǔn)晶體圖案鑲嵌
盡管阿爾罕布拉宮的裝飾令人驚嘆，但波斯的一樣杰作或許可以超越它。1453年，在伊斯法罕的達(dá)爾比伊瑪目神殿，一些無名工匠發(fā)現(xiàn)了準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)。這些圖案具有復(fù)雜而神秘的數(shù)學(xué)性質(zhì)，但直到20世紀(jì)70年代出現(xiàn)彭羅斯瓷磚，數(shù)學(xué)家們才開始對這些性質(zhì)進(jìn)行分析。
彭羅斯瓷磚是一種用規(guī)則的形狀以完全不會(huì)自我重復(fù)的結(jié)構(gòu)對整個(gè)空間進(jìn)行填充的鑲嵌圖樣。上世紀(jì)80年代，丹·謝赫特曼（Daniel Schectman）發(fā)現(xiàn)這種不同尋常的圖樣也存在于晶體結(jié)構(gòu)中?；谶@項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，謝赫特曼為準(zhǔn)晶體的研究作出了杰出貢獻(xiàn)，并在2011年因此獲得了諾貝爾獎(jiǎng)（詳見：）。這一突破迫使科學(xué)家重新考慮他們對物質(zhì)本質(zhì)的概念。
○ ○ Dan Schechtman從一種金屬合金中得到的電子衍射圖顯示出具有十重旋轉(zhuǎn)對稱性的圖樣。| 圖片來源：Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984)
2005年，哈佛大學(xué)物理學(xué)家Peter James Lu展示了使用吉里赫瓷磚可以相對容易地產(chǎn)生這種準(zhǔn)晶體圖案的可能性。吉里赫瓷磚將幾種純粹的幾何形狀組合成五種圖案：一個(gè)正十邊形、一個(gè)不規(guī)則六邊形、一個(gè)蝴蝶領(lǐng)結(jié)、一個(gè)菱形和一個(gè)正五邊形。
○ 激光切割的吉里赫瓷磚。| 圖片來源：38462165@N05/flickr
無論使用的方法什么，很顯然，達(dá)爾比伊阿訇的準(zhǔn)晶體圖案是由沒受過高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練的工匠創(chuàng)造的。而數(shù)學(xué)家花了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間來分析和闡明這些圖案。換句話說，直覺走在了充分理解的前頭。
3
透視和非歐幾里德數(shù)學(xué)
幾何透視在意大利文藝復(fù)興時(shí)期引發(fā)了一場藝術(shù)革命，它使得以一種逼真且準(zhǔn)確的方法來描繪可見的世界成為可能。有人可能會(huì)說，透視法還導(dǎo)致了人們對數(shù)學(xué)基本定律的進(jìn)行重大的重新審視。
○ 這條軌道實(shí)際上從未相交，但隨著它們向地平線靠近，似乎它們會(huì)在一個(gè)遙遠(yuǎn)的“消失點(diǎn)”上匯合。| 圖片來源：royluck / flickr
根據(jù)歐幾里得數(shù)學(xué)，兩條平行線將永遠(yuǎn)保持平行，永不相交。然而，在文藝復(fù)興時(shí)期的透視法中，平行線最終會(huì)在遙遠(yuǎn)的“消失點(diǎn)”上相交。換句話說，文藝復(fù)興時(shí)期的透視法呈現(xiàn)的是一種遵循常規(guī)數(shù)學(xué)規(guī)律的幾何，而不是歐幾里德幾何。
當(dāng)數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)初首次構(gòu)想出非歐幾里得數(shù)學(xué)時(shí)，他們設(shè)想了一個(gè)平行線會(huì)在無限遠(yuǎn)處相交的世界。他們探索的幾何學(xué)在很多方面與文藝復(fù)興時(shí)期的透視法相似。
從那以后，非歐幾里得數(shù)學(xué)開始探索12、13維的空間，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了文藝復(fù)興時(shí)期的透視法。但值得思考的是，文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)是否讓最初的這步飛躍變得更加容易了？
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波洛克的混亂繪畫
一個(gè)打破了傳統(tǒng)界限，與近代的數(shù)學(xué)發(fā)展有相似之處的有趣的現(xiàn)代藝術(shù)例子是畫家杰克遜·波洛克的作品。
對那些第一次看到波洛克的作品的人來說，這些畫作顯得雜亂無章，毫無意義。然而，隨著時(shí)間的推移，我們逐漸發(fā)現(xiàn)作品中的有序元素，盡管不是傳統(tǒng)意義上的那種。它們的形狀既可預(yù)測又不可預(yù)測，就像水龍頭的滴水模式一樣，你無法預(yù)測下一次水滴的確切效果；但如果你繪制水滴的模式，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們落在一個(gè)有著清晰的形狀和邊界的區(qū)域內(nèi)。
○ 波洛克的作品：《灰的彩虹》。| 圖片來源：ancientartpodcast/flickr
這種不可預(yù)測性曾在數(shù)學(xué)家研究的范圍之外，但近年來，它已成為數(shù)學(xué)研究中最熱門的領(lǐng)域之一。例如，混沌理論探索的就是那些不能被預(yù)測，但又落在一定的可定義可能范圍內(nèi)的模式；而分形分析研究的是一類具有相似性但卻不完全相同的形狀。
波洛克本人對數(shù)學(xué)并沒有什么特別的興趣，在這方面的才能也非常有限。他對這些圖案的迷戀是憑直覺且主觀的。
有趣的是，數(shù)學(xué)家還不能準(zhǔn)確地描述波洛克在畫中所做的事情。例如，有人嘗試用分形分析來創(chuàng)建一個(gè)波洛克風(fēng)格的數(shù)字“簽名”，但到目前為止，這種方法還沒有奏效——我們無法從數(shù)學(xué)上區(qū)分波洛克的簽名作品和拙劣的模仿作品。即便波洛克使用了分形的概念，也可能是不正確的。
盡管如此，波洛克的既混亂又有序的模式為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)富有成果的方向。在某種程度上，用數(shù)學(xué)工具很有可能可以描述波洛克做了什么，而藝術(shù)家們將不得不繼續(xù)前進(jìn)，劃出一個(gè)可以探索的新領(lǐng)域。
https://theconversation.com/did-artists-lead-the-way-in-mathematics-75355
https://www.nature.com/articles/nature05398
http://www2.clarku.edu/%7Edjoyce/wallpaper/seventeen.html
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